REMARQUES PSEUDO-MATHÉMATIQUES SUR LA LITTÉRATURE

Gylfi Þ. Gunnlaugsson



On peut, si on veut, trouver certains traits communs à la littérature et à la topologie.

La topologie est un domaine des mathématiques qui traite de l’espace, des objets dans l’espace, et des relations entre ces objets.
C’est peut-être une géométrie dans un sens général et parfois étrange.
Une « topologie » dans un espace est un ensemble de relations d’objets dans cet espace. La topologie dans sa forme moderne a été inventée par Henri Poincaré à la suite de ses tentatives de classement des objets géométriques apparaissant dans l’analyse. La topologie est un domaine fondamental, car sous-jacent à tout objet qui se trouve dans un espace, mais tout aussi intéressant en soi.

D’un point de vue topologique, deux objets A et B sont les mêmes (homéomorphes) s’il existe une application bijective continue entre A et B qui est aussi continue entre B et A (un homéomorphisme). Des exemples de telles applications sont les agrandissements, les rétrécissements, mais pas les coupes. Parfois, les objets sont assez étranges ; un exemple classique est le ruban de Möbius.

Si deux objets sont homéomorphes, il n’y a pas de différence du point de vue de la topologie ; ils sont exactement identiques. On appelle les propriétés qui se transfèrent par homéomorphisme des invariants topologiques. La connexité est un invariant topologique, dans le sens où l’image d’un espace connexe par une application continue est connexe. Une conséquence simple de cette observation est que si deux espaces topologiques n’ont pas le même nombre de composantes connexes, alors ils ne sont pas homéomorphes.

Un usage pratique de cette propriété est le suivant : si on a deux objets, un simple et connu, un autre complexe et inconnu, on peut essayer de trouver un homéomorphisme. Si on le trouve, tous les invariants topologiques sont les mêmes et nous en savons donc beaucoup plus ! Si l’objet connu a un trou, l’objet inconnu aussi, mais on ne sait pas où. Il est parfois difficile de trouver ce trou, mais il est facile de prouver son existence.

C’est peut-être l’essence même de cette discipline que d’étudier les relations entre objets au lieu des objets en eux-mêmes. Différents objets, simples et complexes, deviennent identiques et on peut en déduire des propriétés fondamentales de manière facile et élégante. Peut-être peut-on étendre ce concept au roman, autre version simplifiée d‘un objet complexe.

Le roman présente un récit d'événements et de choses dont on peut déduire des informations et des pensées. Un phénomène aussi vaste que la vie en ville ou une relations amoureuse peut tenir en cent pages. Différents romans partagent le même sujet mais avec leur accent propre et unique. Parfois, le roman explique une sensation étrange dont on essaie de déduire quelque chose de connu. En littérature comme en topologie, cette zone est à l‘étude. On a des agrandissements, des rétrécissements, mais pas de coupes.

Mais cela n’est que spéculation.

Pour finir, observons une belle proposition de topologie algébrique. Une courbe fermée est dite homotope à zéro si elle est déformable continument en un point. Un espace topologique X dans lequel toute courbe fermée est homotope à zéro est dit simplement connexe. Nous allons montrer que si toute application continue f : S1 → X du cercle dans X s’étend continument en une application continue f : B2 → X du disque dans X, alors X est simplement connexe. La source de la preuve, et inspiration de ces remarques, est une version très préliminaire du polycopié de Frédéric Paulin.